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Per le funzioni vettoriali valgono le stesse regole di derivazione e integrazione delle funzioni reali.
La derivata della funzione vettoriale A rispetto alla variabile u è un vettore definito da:
e in termini di componenti per la derivata prima e seconda valgono le relazioni:
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Se φ(u) è una funzione scalare, A(u) e B(u) sono funzioni vettoriali, valgono le relazioni:
| somma: | d(A+B)/du = dA/du + dB/du |
| prodotto: | d(φA)/du = φ dA/du + dφ/du · A |
| d(A·B)/du = A · dB/du + dA/du · B | |
| d(A^B)/du = A ^ dB/du + dA/du ^ B | |
| composizione: | dA[(u(t)]/dt = dA/du · du/dt |
Se esiste B(u) tale che A(u) = dB(u)/du, allora l'integrale indefinito della funzione vettoriale A rispetto alla variabile u è dato da:
dove c è un vettore costante arbitrario. In questo caso l'integrale definito nell'intervallo di integrazione [ a, b ] è dato da:
In termini di componenti vale:
Con l'operatore nabla ∇ = ∂/∂x i + ∂/ ∂x j + ∂/ ∂x k, si definiscono il gradiente, la divergenza e il rotore:
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Valgono le relazioni:
| div rot A = ∇ · ( ∇ ^ A ) = O |
| rot grad φ = ∇ ^ ( ∇φ ) = O |
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