I sistemi numerici
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I sistemi decimale, binario ed esadecimale

Il sistema posizionale, una delle conquiste più importanti della matematica, consente di combinare un piccolo insieme di cifre (una sorta di "alfabeto"), ottenendo un'infinità di numeri il cui valore dipende dalla posizione delle cifre stesse. Il numero delle cifre di base dà il nome al sistema.

Abituati come siamo ad utilizzare il sistema posizionale decimale, è spesso difficile maneggiare sistemi con una base di numerazione differente. In queste righe prenderemo in considerazione tre sistemi (in teoria è possibile prenderne un numero infinito, ma quelli utili sono pochi) che ci interessano parlando di informatica.

• Il sistema binario ha una base di 2 cifre, denotate con i simboli 0 1;
• Il sistema decimale ha una base di 10 cifre, denotate con i simboli 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9;
• Il sistema esadecimale ha una base di 16 cifre, denotate con i simboli 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F;

Il fatto che alcune cifre abbiano lo stesso simbolo nei diversi sistemi è una comodità, ma non è indispensabile: il sistema binario potrebbe essere benissimo costruito sui simboli A e B, o sui simboli $ e &; l'utilizzo dei simboli scritti sopra è però molto utile perché ci permette di tradurre rapidamente il valore nel sistema decimale.

Nei sistemi posizionali è determinante la posizione di ogni cifra: infatti tutti sanno che 104 è diverso da 410. La differenza tra i vari sistemi è che ogni posizione successiva (partendo da destra) corrisponde ad una potenza successiva della base: come si vede nella tabella seguente, nella rappresentazione binaria corrisponde ad una potenza successiva di 2, nella rappresentazione decimale corrisponde ad una potenza successiva di 10, nella rappresentazione esadecimale ad una potenza successiva di 16.

Vediamo con un esempio di chiarire la cosa: il numero 10110 può avere valori diversi a seconda del sistema utilizzato.

• nel sistema binario il numero 10110 ha il valore corrispondente al decimale 22:
   1 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1 = 16 + 4 + 2 = 22
• nel sistema decimale il numero 10110 ha ovviamente il valore 10.110:
   1 × 10000 + 0 × 1000 + 1 × 100 + 1 × 10 + 0 × 1 = 10000 + 100 + 10 = 10110
• nel sistema esadecimale il numero 10110 ha il valore corrispondente al decimale 65.808:
  1 × 65536 + 0 × 4096 + 1 × 256 + 1 × 16 + 0 × 1 = 16 + 8 + 2 = 65808

Da quest'esempio si possono già vedere alcune cose:

Il sistema binario non è certo il più comodo per i calcoli: anche i numeri piccoli sono rappresentati da molte cifre, inoltre le lunghe ripetizioni di numeri uguali favoriscono gli errori (pensate di dover memorizzare il numero 1110100001000010000100001000!); è però un sistema comodo per i computer che non hanno né problemi di memoria, né difficoltà a trattare numeri lunghi. In questo caso il vantaggio decisivo è dato dall'esiguo numero delle cifre (due), che ne permette l'associazione diretta con proprietà fisiche diverse (la corrente passa o non passa, la zona del disco è magnetizzata oppure non lo è) distinguibili in modo chiaro e non ambiguo.
Per inciso la parola bit, che rappresenta l'unità di informazione nei computer, deriva proprio dalla frase "binary digit" (cifra binaria).

Il sistema decimale, la cui adozione deriva dal contare con le nostre dieci dita, ha un numero di cifre né troppo piccolo né troppo grande, permettendoci di lavorare con numeri di lunghezza ragionevole.

Il sistema esadecimale, un po' più complesso del decimale, non dà grandi vantaggi pratici, eccetto uno: permette di rappresentare in modo conciso i lunghi numeri binari, consentendone rispetto al decimale una traduzione immediata. Infatti se per esempio prendiamo il numero binario 1110100001000010000100001000 e lo dividiamo in gruppi di quattro (1110 1000 0100 0010 0001 0000 1000) possiamo tradurlo immediatamente utilizzando la tabella sottostante e sostituendo ad ogni quartetto di cifre binarie la cifra esadecimale corrispondente. Otteniamo così il numero esadecimale E844108, decisamente più agevole da trattare!

Quindi il sistema esadecimale è importante perchè è una notazione comoda per indicare i numeri binari, gli unici numeri che il computer può "capire".

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